No post Reinventando a roda: polígonos de Reuleaux, eu deixei algumas perguntas para os leitores. Aqui, vou comentá-las. Então, se você não leu o post original, dá uma paradinha e vai lar conferir, para que este aqui faça sentido pra você.
As questões eram as seguintes:
1. Como podemos mostrar que a largura de um triângulo de Reuleaux é mesmo constante?
Para responder a essa pergunta, gravei um vídeo. Nele, não vou demonstrar formalmente essa propriedade, mas vou explorar a pergunta no Geogebra, a fim de que o leitor possam ter uma melhor compreensão de porque o triângulo de Reuleaux tem largura constante.
2. Se, em vez de rolo, considerássemos pares de rodas conectadas por eixos, mas que, em vez de redondas, tivessem triângulos de Reuleaux como base, funcionaria? Em que condições?
3. Seria possível ter uma bicicleta com rodas baseadas no triângulo de Reuleaux? Como?
Lembrem-se que, no post original sobre o assunto, dissemos que um rolo cilíndrico cuja base fosse o triângulo de Reuleaux substituiria perfeitamente um de base circular, porque ambos têm largura constante - que, no caso do círculo, chama-se diâmetro. Uma esteira posicionada sobre qualquer um deles rolaria sem solavancos.
Mas, no caso dos automóveis convencionais ou de uma bicicleta, as rodas têm um eixo central e é esse eixo que está atrelado ao restante da estrutura do veículo. Para que eles possam se movimentar sem solavancos, portanto, o eixo deve ficar sempre uma distância constante do chão enquanto a roda gira. Em outras palavras, a roda circular com eixo central funciona bem porque seu raio é constante.
Por uma questão de simplicidade de linguagem, vamos estender a nomenclatura "diâmetro" e "raio" para o triângulo de Reuleaux. Já sabemos, então, que ele tem diâmetro constante, mas o que acontece com seu raio?
Antes de mais nada, precisamos definir o centro do triângulo de Reuleaux, para podermos determinar seu raio. O candidato óbvio é o baricentro do triângulo equilátero nele contido, como ilustrado na construção a seguir (M):
Uma simples manipulação no Geogebra é suficiente para nos convencer de que o raio do triângulo de Reuleaux não é constante. Vejam:
Não é difícil aprofundar um pouco esse entendimento, explorando as propriedades do triângulo equilátero contido no triângulo de Reuleaux. Compartilho um rascunho meu com vocês:
Então, voltando às perguntas: seria possível ter um automóvel ou bicicleta cujas rodas tivessem o triângulo de Reuleaux como base?
Não só é possível, como já houve quem experimentasse! Mas o empreendimento exige soluções de engenharia adicionais, para estabilizar a distância do eixo ao chão. Vejam que interessantes essas duas bicicletas:
4. Por que é possível construir polígonos de Reuleaux a partir de polígonos regulares de quantidade ímpar de lados? E como fazer esse tipo de construção?
5. Também é possível construir polígonos de Reuleaux a partir de polígonos regulares de quantidade par de lados? Por quê?
De modo bastante informal: se eu tenho um polígono com um número ímpar de vértices, sempre haverá uma oposição entre um lado e um vértice. Mais, o vértice oposto a um lado, está na sua mediatriz, permitindo a construção do arco de interesse, como ilustrado na imagem a seguir:
Em polígonos com quantidade par de lados, não ocorre essa configuração. Desenhe para verificar!
6. Há outras figuras de largura constante, mas que não podem ser construídas com base em um polígono regular?
7. Existem figuras tridimensionais de largura constante?
Volte lá no vídeo que eu sugeri no post original! As duas perguntas estão respondidas. A última, de forma direta. Já a sexta está respondida quando são mostradas figuras de largura constante que são construídas a partir de dois polígonos de Reuleaux.
Até a próxima!
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