Um método diferente para resolver equações quadráticas

A resolução de equações algébricas tem uma longa história na Matemática. A fim de revisar de uma forma diferente a resolução de equações, quando eu lecionava matemática para o 1º ano do Ensino Médio, eu muitas vezes propus a meus alunos a experimentação de métodos pouco usuais, baseados em outras épocas e culturas, que podemos conhecer por meio da historiografia da matemática. É o caso, por exemplo, do método do montão, de origem egípcia, que se aplica bem a equações lineares, por ter como base o raciocínio proporcional. O nome é devido à tradução do termo usado para se referir à incógnita: montão.

Vejamos como funciona o método do montão, usando o seguinte problema:

“Um montão, sua metade e seus dois terços, todos juntos são 26. Digam-me qual a quantidade.”

Hoje, escreveríamos x + x/2 + 2x/3 = 26 e resolveríamos assim:

6x/6 + 3x/6 + 4x/6 = 26
6x + 3x + 4 x = 156
13x = 156 
x = 12

. Mas os antigos egípcios nem dispunham de linguagem algébrica. Eles faziam uma estimativa inicial para o “montão”, por exemplo, 18. Então, faziam os cálculos indicados no problema, usando essa estimativa no lugar do montão:

 18 + 18/2 +(2*18)/3 = 18 + 9 + 12 = 39

Vê-se que nossa estimativa inicial não está correta, já que, segundo o problema, o resultado deveria ser 26, não 39. Então, usamos uma regra de três para corrigir nossa estimativa:

18/39 = montão/26
montão = (26*18)/39 = 12

Geralmente, os alunos adoravam o método do montão (talvez porque o raciocínio proporcional seja um porto seguro para o qual sempre queremos voltar). Então, eles ficavam muito contrariados ao descobrir que esse método não funciona sempre. Em especial, não funciona para equações quadráticas.

De fato, as equações quadráticas exigem, no geral, métodos bastante mais sofisticados. Um dos mais gerais é conhecido pela alcunha de "fórmula de Bhaskara", em referência ao matemático indiano do século XII que teria sido seu criador. Na verdade, Bháskara não criou fórmula alguma, já que a linguagem com que os indianos de sua época faziam matemática nada tem a ver com a linguagem simbólica que usamos atualmente. Mas, anacronismos a parte, Bháskara aplicava um método que pode ser "traduzido" pela fórmula que aprendemos na escola. Dada uma equação quadrática genérica ax^2 + bx + c = 0, os valores das raízes podem ser obtidos (se existirem) por:

Essa fórmula tem como vantagem, a meu ver, sua generalidade. Para qualquer que seja a equação quadrática, ela é um método certo e seguro de resolução. Porém, ela é, às vezes, "um canhão para matar mosquito". Há formas muitos mais rápidas e simples de resolver equações quadráticas, embora não tão gerais.

No caso das equações incompletas (ax^2 + c = 0 ou ax^2 + bx = 0), é muito mais fácil e rápido isolar a incógnita. E há o conhecido método da soma e do produto. Vejamos esse último método com mais detalhes.

Dada uma equação quadrática genérica ax^2 + bx + c = 0, o primeiro passo é manipular essa equação até chegar à forma x^2 - Sx + P = 0. (Basta dividir todos os termos por "a" e manejar os sinais dos parâmetros S e P). Então, as raízes procuradas são dois números cuja soma é S e o produto é P.

Às vezes, o método da soma e do produto é maravilhosamente conveniente. Por exemplo, se temos x^2 - 7x + 12 = 0, é fácil fazer alguns testes e concluir que as raízes são 3 e 4. Noutras vezes, porém, é muito difícil achar os números procurados na base da tentativa e erro, especialmente se eles não forem números inteiros "pequenos". É o caso, por exemplo, da equação x^2 - 4x - 13 = 0. Quais seriam os números cuja soma é 4 e o produto é -13?

Po-Shen Loh, um jovem professor norte-americano de origem chinesa, percebia que seus alunos ficavam muito frustrados com essas tentativas... Em 2019, investigando métodos diversos de resolução de equações quadráticas - dos babilônios a Viète - ele acabou criando um método novo e bastante interessante, que pode ser visto como uma derivação do método da soma e do produto, só que sem o inconveniente de ter de ficar fazendo tentativas.

Método de Po-Shen Loh:

Seja, por exemplo, a equação x^2 - 4x - 13 = 0. Sabemos que as suas raízes x' e x'' são tais que:

x' + x'' = 4
x' * x'' = -13

Então, tomemos a média de x' e x'', que é 2. O método consiste em perceber que as duas raízes estão equidistantes da média. Então, para algum "u" positivo ainda desconhecido, teremos:

x' = 2 - u e 
x'' = 2 + u

O produto deve ser -13, então:

Para além do valor do novo método em si, essa descoberta de Po-Shen Loh mostra que, mesmo em problemas tão antigos, pode haver espaço para a inovação. A matemática é viva e está sempre em movimento!

Para ver a explicação do próprio Po-Shen Loh sobre sua descoberta, acesse:

Referências (além do vídeo):

• DAVIS, P. HERSCH, R. A experiência matemática. 4ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.

• ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.